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Wed, 02 Apr 2025 00:00:00 +0000

有向图的拓扑排序

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，点的编号是 1 到 n，图中可能存在重边和自环

请输出任意一个该有向图的拓扑序列，如果拓扑序列不存在，则输出 −1

若一个由图中所有点构成的序列 A 满足：对于图中的每条边 (x, y)，x 在 A 中都出现在 y 之前，则称 A 是该图的一个拓扑序列

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m
接下来 m 行，每行包含两个整数 x 和 y，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边 (x, y)

输出格式

共一行，如果存在拓扑序列，则输出任意一个合法的拓扑序列即可
否则输出 −1

数据范围

`1`	`1 ≤ n, m ≤ 105`

输入样例

输出样例

1 2 3

分析

邻接表的构建：
- h[N]：存储每个节点的邻接表头
- e[N]：存储邻接节点的目标节点
- ne[N]：存储邻接表中链表的下一个节点
- idx：记录当前边的编号
add(a, b)：将一条从节点 a 到节点 b 的边加入邻接表
topsort()：
- 使用队列 q 来存储入度为零的节点，初始化时将所有入度为零的节点加入队列
- 在 BFS 遍历过程中，若某个节点的入度减为零，则将其加入队列
- 最终，如果排序成功且队列中处理的节点数为 n，则说明拓扑排序存在，否则返回 false

时间复杂度

队列中的每个节点会被入队和出队一次，最多访问 n 个节点和 m 条边

时间复杂度 O(n + m)

空间复杂度

存储邻接表需要 O(n + m) 的空间
存储入度数组和队列需要 O(n) 的空间

空间复杂度为 O(n + m)

C++代码

#include <cstring>
#include <iostream>

const int N = 100010;

int h[N], e[N], ne[N], idx;  // 邻接表
int q[N], d[N];  // 队列和入度数组
int n, m;  // 节点数和边数

// 添加一条边到邻接表
void add(int a, int b)
{
  e[idx] = b;
  ne[idx] = h[a];
  h[a] = idx++;
}

// 拓扑排序算法
bool topsort()
{
  int hh = 0, tt = -1;

  // 将所有入度为 0 的节点加入队列
  for (int i = 1; i <= n; ++i)
    if (d[i] == 0)
      q[++tt] = i;

  // 进行拓扑排序
  while (hh <= tt)
  {
    int t = q[hh++];  // 出队一个节点
    for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])  // 遍历该节点的所有邻接节点
    {
      int j = e[i];  // 邻接节点 j
      if (--d[j] == 0)  // 如果该节点的入度减为 0，则加入队列
        q[++tt] = j;
    }
  }

  // 如果队列中的节点数等于总节点数，说明拓扑排序成功
  return tt == n - 1;
}

int main()
{
  std::memset(h, -1, sizeof(h));  // 初始化邻接表

  std::cin >> n >> m;  // 输入节点数和边数
  for (int i = 0; i < m; ++i)
  {
    int x, y;
    std::cin >> x >> y;  // 输入每条边
    add(x, y);  // 将边加入邻接表
    ++d[y];  // 更新节点 y 的入度
  }

  if (topsort())  // 如果拓扑排序成功
  {
    for (int i = 0; i < n; ++i)  // 输出拓扑排序
      std::cout << q[i] << ' ';
    std::cout << '\n';
  }
  else
    std::cout << -1 << '\n';  // 如果无法进行拓扑排序，输出 -1

  return 0;
}

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